Řešení příkladu 46

Máme zadanou jednu implikaci, kterou bychom mohli zapsat jako A => (B a C). Pak máme zadanou větu ¬B. Když máme z těchto vět odvodit, musíme je považovat za pravdivé.

Jestli je ¬B pravda, tak pak B není pravda a proto nemůže být pravdivá ani konjunkce B a C (protože konjunkce je pravdivá, pouze když jsou pravdivé obě její části. O pravdivostní hodnotě výroku C nevíme ze zadání říct nic - může být jak pravdivý tak i nepravdivý. Jeho hodnota nic nezmění ani na pravdivostní hodnotě konjunkce B a C - protože pro její nepravdivost stačí, aby nepravdivá byla jedna její část).

Na to, aby byla implikace pravdivá, musí mít výrok A hodnotu 0. Kdyby totiž měl hodnotu 1, dostali bychom implikaci 1 => 0 (její první část A, by byla pravdivá. A druhá část [B a C] by pravdivá nebyla), která by měla pravdivostní hodnotu 0 (implikace je nepravdivá pouze v případě, že první výrok je pravdivý a výrok z něj vyplývající pravdivý není).

Víme tedy se 100% jistotou říct, že pravdivostní hodnota výroku A = 0, B = 0, a C = ? (jak jsme si již řekli o odstavec výš, o pravdivostní hodnotě výroku C nedokážeme nic říct). Teď musíme vybrat tu možnost, která obsahuje výrok, který je pravdivý – tedy takový, který vyplývá ze zadané situace.

Začneme možnosti e). Ta obsahuje výrok ¬C nebo A. Víme, že A = 0, a nevíme hodnotu C. Proto tento výrok ze zadání nevyplývá. U disjunkce stačí, aby byla pravdivá pouze její část, ale mi máme pouze jeden nepravdivý výrok (A) a jeden o kterém nic nevíme (¬C). Proto nedokážeme udělat jednoznačný závěr o věte v možnosti e) (Když pravdivostní hodnota výroku ¬C je 0 - není pravdivý, tak bude celá disjunkce nepravdivá. Jestliže však bude pravdivostní hodnota výroku ¬C 1 - je pravdivý, tak bude celá disjunkce pravdivá).

Možnost d) obsahuje implikaci ¬B => ¬C. Víme, že pravdivostní hodnota výroku B = 0, a proto ¬B = 1. Víme, že implikace je nepravdivá pouze tehdy, když je první výrok pravdivý a druhý výrok nepravdivý. První výrok je pravdivý. Pravdivostní hodnota druhého výroku ¬C může (a nemusí) být 0 (může být nepravdivý). V této situaci by byla celá věta v možnosti d) (celá implikace) nepravdivá. Nemůžeme proto s jistotou říct, že je táto věta pravdivá - protože víme alespoň o jedné situaci (situace kdy výrok ¬C není pravdivý), kdy by tato věta pravdivá nebyla.

Možnost c) je ten samý případ. Taky nemůžeme říct, jestli je věta v této možnosti pravdivá, protože nevíme nic o pravdivostní hodnotě výroku C. Existuje tedy opět jedna situace, za které věta v možnosti c) nebude pravdivá. Je pravda, že buď výrok c) nebo d) pravdivý je, zatímco ten druhý pravdivý nebude, ale mi nedokážeme určit, který z těch dvou to je. Proto není správná ani jedna z možností c) a d). Správnou odpovědí je ta, kterou dokážeme odvodit ze zadání s úplnou jistotou.

Možnost b) obsahuje větu C nebo A. Na to aby byla disjunkce pravdivá, stačí, aby byla pravdivá jedna její část. V tomto případě víme, že pravdivostní hodnota výroku A = 0, a o pravdivostní hodnotě výroku C nevíme nic. Kdyby byl výrok C pravdivý, tak by byla věta v možnosti b) pravdivá. Stejně tak však může být výrok C nepravdivý a celá disjunkce v možnosti b) nepravdivá. Proto nedokážeme s jistotou říct, jestli je věta v této možnosti pravdivá a nemůžeme ji tudíž za správnou označit.

Správná je možnost a), která obsahuje výrok A => C (implikace). Víme, že pravdivostní hodnota výroku A = 0, a proto víme už teď, že hodnota celé implikace musí být 1 a věta je tedy pravdivá. Implikace je totiž nepravdivá pouze, když je její první část pravdivá, a druhá nepravdivá. Vzhledem na to, že naše první část pravdivá není, nemůže být tato implikace nepravdivá. Bude pravdivá bez ohledu na to, zda bude pravdivostní hodnota výroku C = 1, nebo 0.

© Všechna práva vyhrazena, 2011