Řešení příkladu 47

Příklad podobný jako příklad 46. Musíme najít situaci, kdy jsou obě zadané věty pravdivé. První větu zapíšeme jako A=>B. Druhou jako C=> ¬B.

Výrok A Výrok B Výrok C ¬B A => B C => ¬B
1 1 1 0 1 0
1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1

Všimneme si, že tato tabulka musí být větší, aby pokryla všechny možné kombinace pravdivostních hodnot výroků A, B a C. Víme, že zadané věty musí být pravdivé. Proto budeme dál počítat pouze s těmi situacemi (řádkami), kdy jsou obě zadané věty pravdivé. Takové situace jsou v řádku 2, 6, 7 a 8. Máme tedy 4 možné situace:

  1. A =1, B = 1, C = 0
  2. A =0, B = 1, C = 0
  3. A =0, B = 0, C = 1
  4. A, B i C = 0

Naším úkolem je označit možnost, která obsahuje větu, která jednoznačně vyplývá ze zadání. Takovou větou bude pouze věta, která bude pravdivá v každé ze 4 situací, které jsme vyhodnotili jako možné. Každou z nabízených možností musíme proto podrobit testu pravdivosti v každé z možných situací.

Možnost a) obsahuje větu (konjunkci) ¬A a C:
1. situace – v této situaci je A = 1 a C = 0. Proto v této situaci je hodnota věty v možnosti a) 0 (věta je nepravdivá). Konjunkce je totiž pravdivá pouze za situace, kdy jsou obě její části pravdivé. Možnost a) můžeme tedy opustit, a nemusíme testovat její pravdivostní hodnoty v dalších situacích. Když totiž víme, že existuje alespoň jedna možná situace (situace, kdy jsou zadané výroky pravdivé), ve které je tato věta nepravdivá, nedokážeme s jistotou říct, že bude tento výrok pravdivý (z těch 4 situací totiž může nastat právě ta, ve které je tento výrok nepravdivý).

Možnost b) – obsahuje větu (disjunkci) ¬A nebo C:
1. situace – v této situaci je A=1 a C=0. Negace A (¬A) je proto rovná 0. Víme, že pokud jsou obě části disjunkce nepravdivé, je nepravdivá celá disjunkce. Proto je v této situaci věta obsažená v možnosti b) nepravdivá, a můžeme (stejně jako u možnosti a) přestat testovat její pravdivostní hodnotu v ostatních situacích. Když totiž víme, že existuje alespoň jedna možná situace (situace, kdy jsou zadané výroky pravdivé), ve které je tato věta nepravdivá, nedokážeme s jistotou říct, že bude tento výrok pravdivý (z těch 4 situací totiž může nastat právě ta, ve které je tento výrok nepravdivý).

Možnost c) – obsahuje větu (disjunkci) ¬A nebo ¬C:
1. situace – v této situaci je negace A = 0, a negace C = 1. Pro disjunkci stačí, pokud je jedna její část pravdivá. Proto hodnota celého výroku pro tuto situaci = 1 (výrok je pravdivý).
2. situace – v této situaci je negace A = 1, a negace C = 1. V této situaci je tedy hodnota výroku taky 1, protože když jsou obě části disjunkce pravdivé, je pravdivá celá disjunkce (1 v 1 = 1).
3. situace – v této situaci je negace A = 1, a negace C = 0. V této situaci je tedy hodnota výroku taky 1, protože pro to, aby byla celá disjunkce pravdivá, stačí aby byla pravdivá pouze jedna její část (1 v 0 = 1).
4. situace – v této situaci je negace A = 1, a negace C = 1. V této situaci je tedy hodnota výroku taky 1, protože když jsou obě části disjunkce pravdivé, je pravdivá celá disjunkce (1 v 1 = 1).

Víme tedy, že správnou odpovědí je možnost c), protože za každé možné situace nabývá pravdivostní hodnoty 1.

© Všechna práva vyhrazena, 2011